раздел математики, посвящённый теории и методам решения многошаговых задач оптимального управления (См. Оптимальное управление).

В Д. п. для управляемых процессов среди всех возможных управлений ищется то, которое доставляет экстремальное (наименьшее или наибольшее) значение целевой функции - некоторой числовой характеристике процесса. Под многошаговостью понимают либо многоступенчатую структуру процесса, либо разбиение управления на ряд последовательных этапов (шагов), соответствующих, как правило, различным моментам времени. Т. о., в названии "Д. п." под "программированием" понимают "принятие решений", "планирование", а слово "динамическое" указывает на существенную роль времени и порядка выполнения операции в рассматриваемых процессах и методах.

Методы Д. п. являются составной частью методов, используемых в исследовании операций (см. Операций исследование), и применяются как в задачах оптимального планирования, так и при решении различных технических проблем (например, в задачах определения оптимальных размеров ступеней многоступенчатых ракет, в задачах оптимального проектирования прокладки дорог и др.).

Пусть, например, процесс управления некоторой системой состоит из m шагов (этапов), на i-м шагу управление y_i переводит систему из состояния x_i-1 в новое состояние x_i, которое зависит от x_i-1 и y_i:

x_i = x_i(y_i, x_i-1).

Т. о., управление у₁, у₂, ..., у_m переводит систему из начального состояния x₀ в конечное х_m. Требуется выбрать x₀ и у₁, ..., у_m таким образом, чтобы целевая функция F = ∑^m_i=1 φ_i (x_i-1, y_i) достигла максимального значения F*. Основным методом Д. п. является сведение общей задачи к ряду более простых экстремальных задач. Пользуясь так называемым принципом оптимальности, сформулированным американским математиком Р. Беллманом, легко получить основное функциональное уравнение:

и (k = 2, ..., m - 1)

f₁(x₀) = F*,

где

(k = 1, ..., m).

Т. о., метод Д. п. приводит к необходимости решения этой рекуррентной системы функциональных уравнений. В процессе решения последовательность этапов проходится дважды: в приведённом варианте рекуррентной системы в первый раз от конца к началу (находятся оптимальные значения F* и х*₀), второй раз - от начала к концу (находятся оптимальные управления y*₁, ..., у*_m).

Методы Д. п. находят применение не только в дискретных, но и в непрерывных управляемых процессах, например в таких процессах, когда решения надо принимать в каждый момент некоторого интервала времени. Д. п. дало новый подход к задачам вариационного исчисления (См. Вариационное исчисление).

Хотя метод Д. п. существенно упрощает исходные задачи, однако непосредственное его применение, как правило, сопряжено с громоздкими вычислениями. Для преодоления этих трудностей разрабатываются приближённые методы Д. п.

Лит.: Беллман Р., Динамическое программирование, пер. с англ., М., 1960; Хедли Дж., Нелинейное и динамическое программирование, пер. с англ., М., 1967.

В. Г. Карманов.

процесс составления упорядоченной последовательности действий (программы (См. Программа)) для ЭВМ; научная дисциплина, изучающая программы для ЭВМ и способы их составления, проверки и улучшения.

Каждая ЭВМ является автоматом, состоящим из памяти, образуемой внешним и оперативным запоминающими устройствами, устройства управления (УУ) и арифметические устройства (АУ), в котором могут выполняться некоторые действия или операции. Память имеет вид занумерованной последовательности ячеек, в каждой из которых хранится порция двоичной информации в виде серии нулей и единиц. Автоматическая работа ЭВМ, управляемая программой, состоит из последовательности тактов. На каждом такте УУ выбирает из предписанной ему ячейки памяти порцию информации. Эта порция трактуется как команда, т. е. предписание АУ выполнить некоторую операцию. Обычно в ЭВМ выполнение операции состоит в том, чтобы из определённых ячеек памяти взять хранящуюся там информацию, передать её в АУ для выполнения над ней нужного действия, результат которого отправить в указанную ячейку памяти, и сообщить УУ номер ячейки следующей команды. Отдельные действия, совершаемые ЭВМ, весьма просты - это арифметические и логические операции, операции сравнения, переписывания порции информации и т.п. Т. о., составить программу для ЭВМ - это значит представить способ решения задачи в виде такой совокупности машинных команд (программы), чтобы они, будучи размещенными в памяти, поочерёдно выполняясь и вызывая одна другую, реализовали нужные вычисления.

Идея П. возникает ещё в школе при составлении "плана решения" арифметической задачи в виде серии вопросов. Существенное отличие реального П. от школьного опыта заключается в том, что программа, как правило, задаёт не одну, а несколько последовательностей действий (разветвлений), выбор между которыми зависит от значения промежуточных результатов решения задачи; выполняет некоторые группы команд многократно, автоматически определяя нужное число повторений; может предписанным образом сама себя менять или частично формировать в процессе своего выполнения.

Дополнительной особенностью П. является его трудность: размеры многих реальных программ исчисляются тысячами команд, а количество выполняемых ими действий - десятками миллионов. Такие объёмы в сочетании с элементарным характером машинных команд делают П. одновременно и очень сложным, и очень монотонным процессом.

Для преодоления этого противоречия П. придан характер многоэтапного процесса, каждый этап которого есть постепенная конкретизация и детализация плана решения задачи, полученного на предыдущем этапе. Кроме того, если правила описания плана решения задачи на некотором этапе будут точными, формальными и универсальными, т. е. применимыми к любой задаче, то тогда можно говорить о существовании некоторого языка П., используемого при составлении программы.

Языки программирования (См. Язык программирования) как способ точного формулирования задачи на разных этапах подготовки её к решению на ЭВМ сыграли фундаментальную роль в развитии П. В частности, они позволяют трактовать П. как процесс перевода задания для ЭВМ, выраженного в некотором языке, на другой язык - "язык машины". Если найти и описать точные правила такого перевода, то эти правила, в свою очередь, можно запрограммировать на ЭВМ. Полученные программы, автоматизирующие процесс П., называют трансляторами.

Процесс П. обычно состоит из следующих этапов:

Содержание каждого этапа П. можно пояснить на примере решения квадратного уравнения.

Исходная формулировка. Надо найти корни 50 квадратных уравнений вида ax² + bx + c = 0, коэффициенты которых заданы в виде трёх таблиц A_i, B_i и C_i (i = 1,..., 50).

Алгоритмическое описание задачи получается в результате полного математического исследования её постановки, выбора стандартных или поиска новых алгоритмов выполнения всех нужных вычислений, а также уточнения, какие исходные данные надо ввести в ЭВМ и какие результаты надо получить. В данном случае алгоритмическое описание может иметь такой вид: ввести в ЭВМ таблицы коэффициентов A_i, B_i и C_i, решить каждое уравнение по общей формуле

с исследованием дискриминанта b² - 4ac для определения случая комплексных корней; для единообразия каждый корень уравнения выдавать как комплексное число x = u + iv, полагая в случае вещественных корней мнимую часть равной нулю.

Язык П. высокого уровня - главное средство составления программ для ЭВМ. Общая особенность этих языков - их независимость от системы команд конкретных ЭВМ и фразовая структура, что в сочетании с использованием т. н. служебных слов приближает их к естественным языкам. Фразы разделяются обычно точкой с запятой; соподчинённость фраз указывается с помощью "операторных скобок" начало и конец; фразы делятся на два типа - операторы и описания. Оператор является единицей действия в языке. Различают следующие их типы: операторы присваивания, производящие подсчёт по указанной формуле и присваивающие вычисленное значение заданной переменной величине; условные операторы, которые в зависимости от результата проверки заданного условия производят выбор одной или другой ветви вычислений; операторы цикла, обеспечивающие повторное выполнение группы операторов. В описаниях указываются свойства переменных величин и других обозначений, используемых в программе. Важным свойством является "процедурный" характер языка: для любой уже составленной программы, решающей некоторую частную задачу, можно ввести символическое функциональное обозначение. Текст этой программы вместе с её обозначением называется описанием процедуры или подпрограммой. Тогда при составлении новой программы всюду, где может потребоваться использование этой описанной процедуры, достаточно упомянуть её функциональное обозначение в виде оператора процедуры вместо переписывания полного текста подпрограммы.

В 70-х гг. 20 в. существует целое семейство таких языков П.: алгол-60, фортран для решения инженерных и научных задач, кобол для экономических расчётов, симула для П. математических моделей, более мощные языки алгол-68 и ПЛ/1, охватывающие все виды применений ЭВМ. Для всех из них существуют трансляторы, обеспечивающие автоматическое построение машинных программ для задач, выраженных в этих языках.

Программа решения квадратного уравнения, записанная на языке алгол-60 (адаптированном):

начало вещественные массивы А, В, С [1: 50];

вещественные а, b, с, u1, υ1, u2, υ2;

целое i, ввод (A, В, С);

для i: = шаг 1 до 50 цикл

начало а: = A [i]; b: = B [i]; c = C [i];

если , то

начало υ1: = υ2: = 0; u1:= -b + корень ;

u 2:= - b - корень ;

конец иначе

начало υ1: = корень ;

υ2: = - υ1; u1:= u2:

конец; вывод (u1, υ1, u2, υ2)

конец

конец

Машинно-ориентированный язык представляет программы в терминах команд ЭВМ, но выраженных в более удобной для употребления символике, нежели прямое двоичное представление. Он используется на промежуточном этапе процесса автоматической трансляции с языка более высокого уровня или же как язык П., когда программа по существу сразу должна быть сконструирована в терминах машинных команд. В последнем случае роль языка высокого уровня часто играет язык блок-схем, когда структура программы, т. е. последовательность выполнения её "блоков", наличие разветвления и повторяющихся участков показываются в графической форме, а функции каждого блока записываются в произвольной текстовой форме. Ниже следует пример блок-схемы решения квадратного уравнения:

После составления программы неотъемлемым этапом П. является "отладка" программы, т. е. обнаружение и исправление ошибок, допускаемых при П. Основное средство отладки - т. н. отладочные запуски, когда в программу добавляются дополнительные "измерительные" действия, позволяющие по ходу выполнения программы на ЭВМ выдавать "протокол" её работы (порядок выполнения команд, значения промежуточных результатов и т.п.). Исследование протокола позволяет судить о том, в какой степени программа соответствует замыслу программиста.

Развитие П. как науки началось с 1947 в работах американских математиков Дж. Неймана, А. Беркса и Г. Голдстайна, которые описали принципы ЭВМ, управляемой программой, хранящейся в памяти. Они же ввели в употребление блок-схемы программы. Понятие подпрограммы и методики её использования было введено в 1951 английскими учёными М. Уилксом, Дж. Уилером и С. Гиллом. Советский математик А. А. Ляпунов, первым в СССР прочитавший в МГУ в 1952 курс П., определил П. как многоэтапный процесс и ввёл в П. аппарат символических обозначений, явившийся предвестником языков П. высокого уровня. Идея автоматизации программирования (См. Автоматизация программирования) путём трансляции программы, записанной на языке П., была реализована в США Дж. У. Бейкусом (язык фортран) и Г. Хоппер и в СССР С. С. Камыниным, Э. З. Любимским, М. Р. Шура-Бурой и А. П. Ершовым (1954-56). К 1960 в США был разработан язык кобол и международный язык П. алгол-60 (группой учёных из 6 стран). В 60-е гг. развитие П. шло по пути совершенствования и универсализации языков П., нашедших своё воплощение в языках алгол-68, ПЛ/1 и симула, разработки методов формального и строгого описания языков П., развития теории и техники построения трансляторов, создания библиотек стандартных подпрограмм. Особое развитие получили машинно-ориентированные языки П. в направлении объединения ряда черт языков высокого уровня (процедурность, фразовая структура) с адаптируемостью к особенностям конкретной ЭВМ. Для некоторых классов задач предприняты успешные попытки расширить область применения автоматизации П. путём формализации способов алгоритмического описания задачи или даже её исходной формулировки. Это привело к понятиям проблемно-ориентированных языков П., неалгоритмических языков П. и т.п.

Лит.: Лавров С. С., Введение в программирование, М., 1973: его же, Универсальный язык программирования. (АЛГОЛ 60), 3 изд., М., 1972; Жоголев Е. А., Трифонов Н. П., Курс программирования, 3 изд., М., 1971; Джермейн К. Б., Программирование на 1ВМ/360, пер. с англ., 2 изд., М., 1973; Стэбли Д., Логическое программирование в системе 360, пер. с англ., М., 1974.

А. П. Ершов.

Рис. к ст. Программирование.